通用版2020版高考数学大一轮复*课时作业1两角和与差的正弦余弦和正切理新人教A版

发布于:2021-06-22 23:52:16

课时作业(二十一) 第 21 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

时间 / 45 分钟 分值 / 100 分

基础热身

1.sin 15°cos 45°-sin 75°sin 45°的值为 ( )

A.1 B.-1

2

2

C.√3 D.-√3

2

2

2.在△ABC 中,cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 的形状是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

3.已知

tan(

+

π4 )=-3(0

<



<

π2 ),则

tanx-π的值是 (
4

)

A.3 B.-1

4

3

C.1 D.1
32

4.已知 sin(30°+α)=3,60°<α<150°,则 cos α为( )
5

A.3√10 B.-3√10

10

10

C.4√3-3 D.3-4√3

10

10

5.[2018·邯郸一模] 若 sin(α+β)=3sin(π-α+β),α,β∈(0, π2 ),则ttaann=

.

能力提升

6.[2018·黄冈中学月考]

已知α,β∈(-

π 2

,

π2 ),tan

α,tan

β是方程 x2+12x+10=0 的两根,

则 tan(α+β)= ( )

A.4 B.-2 或1

3

2

C.1 D.-2
2

7.[2018·辽宁重点高中协作校三模]

已知α∈(0, π2 ),sin

α=√17,则
17

tan(-

π4 )=

(

)

A.3 B.-3

5

5

C.7 D.-7

3

3

8.[2018·沧州质检] 已知 cos α+2cos β=√2,sin α=2sin β-√3,则 sin2(α+β)= ()

A.1 B.1
24
C.0 D.1

9.[2018·江西师大附中月考] 已知 sin(- π4 )=35,α∈(π2 , 54π),则 sin α= ( )

A.7√2
10
B.-√2
10
C.±√2
10
D.-√2或7√2
10 10
10.[2019·浏阳六校联考] 在△ABC 中,若 sin Bsin C=cos2,则下面等式一定成立的为
2
()

A.B=C

B.A=C

C.A=B

D.A=B=C

11.[2018·齐鲁名校调研] 已知α,β均为锐角,cos(α+β)=-153,sin( + π3 )=35,则

cos( + π6 )= ( )

A.33 B.63
65 65

C.-33
65

D.-63
65

12.[2018·江西八校联考] 已知 sin(π6 -)=cosπ6 +α,则 tan α=

.

13.[2018·琼海模拟]

已知α∈(0,π),且 cos

α=3,则
5

tan(-

π4 )=

.

14.在*面直角坐标系 xOy 中,角α与角β均以 Ox 为始边,它们的终边关于原点对称,若 sin

α=√3,则 cos(α+β)=

.

3

15.(10 分)[2018·东北师大附中月考] 已知 tanα+π4 =2,α∈(0, π2 ).

(1)求 tan α的值;

(2)求 sin(2- π3 )的值.

16.(10 分)[2018·常州模拟] 已知α,β均为锐角,且 sin α=3,tan(α-β)=-1.

5

3

(1)求 sin(α-β)的值;

(2)求 cos β的值.

难点突破

17.(5 分)已知α为锐角,β为第二象限角,且 cos(α-β)=1,sin(α+β)=1,则 sin(3α-β)=

2

2

()

A.-1 B.1
22

C.-√3 D.√3

2

2

18.(5 分)[2018·安庆一中月考] 已知 tan(α+β)=25,tan(- π4 )=14,则

cos+sin=

.

cos-sin

课时作业(二十一)

1.B [解析] sin 15°cos 45°-sin 75°sin 45°=sin 15°cos 45°-cos 15°sin

45°=sin(15°-45°)=sin(-30°)=-1,故选 B.
2
2.C [解析] 依题意可知 cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,∴-cos C>0,∴cos C<0,∴C

为钝角.故选 C.

3.C [解析] ∵tan( + π4 )=t1a-ntan+1=-3,∴tan x=2, ∴tan(- π4 )=1t+antan-1=12+-12=13.故选 C. 4.D [解析] ∵60°<α<150°,∴90°<30°+α<180°,

∴cos(30°+α)=-4,cos α=cos[(30°+α)-30°]=cos(30°+α)cos
5

30°+sin(30°+α)sin 30°=-4×√3+3×1=3-4√3.故选 D.
5 2 5 2 10
5.2 [解析] 因为 sin(α+β)=3sin(π-α+β),所以 sin αcos β=2cos αsin β,所以

tan α=2tan β,所以ttaann=2.

6.A

[解析]

∵α,β∈(-

π 2

,

π2 ),tan

α,tan

β 是方程 x2+12x+10=0 的两根,

∴tan α+tan β=-12,tan α·tan β=10,

∴tan(α+β)=1t-atnan+ttaann=1--1120=43,故选 A.

7.B

[解析]

因为 α∈(0, π2 ),sin

α=√17,所以 cos
17

α=√1-sin2=√1- (√1177)2=4√1717,

所以 tan α=scions=14,

所以 tan(- π4 )=1t+antan-1=-35.

8.D [解析] 由题意可得,(cos α+2cos β)2=cos2α+4cos2β+4cos αcos β=2,(sin

α-2sin β)2=sin2α+4sin2β-4sin αsin β=3,两式相加可得 1+4+4(cos αcos β-sin

αsin β)=5+4cos(α+β)=5,

即 cos(α+β)=0,∴sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=1.

故选 D.

9.B [解析] ∵α∈(π2 , 54π),∴α-π4 ∈(π4 ,π),

又 sin(- π4 )=35,∴cos(- π4 )=-45,

∴sin α=sin[(- π4 ) + π4 ]=sin(- π4 )cosπ4 +cos(- π4 )sinπ4 =35×√22-45×√22=-√102. 10.A [解析] ∵sin Bsin C=cos2=1+cos,
22
∴2sin Bsin C=1+cos A,

又 cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C,

∴2sin Bsin C=1-cos Bcos C+sin Bsin C,

∴cos Bcos C+sin Bsin C=cos(B-C)=1,

又 B,C 为△ABC 的内角,

∴B-C=0,∴B=C.故选 A.

11.A [解析] 由题意可知 α+β,β+π3 都为钝角,∴sin(α+β)=1123,cos( + π3 )=-45,

∴cos( + π6 )=cos(α+β)-( + π3 )+π2 =-sin(α+β)-( +

π3 )=-sin(α+β)cosβ+π3 +cos(α+β)sinβ+π3 =-1123×(- 45)+(- 153)×35=3635.故选 A.

12.-1

[解析]

由 sin(π6 -)=cos(π6 + ),得12cos

α-√3sin
2

α=√3cos
2

α-1sin
2

α,

即(12 - √23)cos α=(√23 - 12)sin α,所以 cos α=-sin α,即 tan α=-1.

13.1 [解析] ∵α∈(0,π),且 cos α=3,

7

5

∴sin

α=√1-cos2=45,∴tan

α=4,
3

∴tan(- π4 )=1t+antan-1=143-+143=17.

14.-1 [解析] ∵角 α 与角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于原点对称,且 sin α=√3,

3

3

∴sin β=-√3.
3

若 α 为第一象限角,则 cos α=√6,cos β=-√6,

3

3

此时 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=√36×(- √36)-√33×(- √33)=-13;

若 α 为第二象限角,则 cos α=-√6,cos β=√6,

3

3

此时 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-√36×√36-√33×(- √33)=-13.

∴cos(α+β)=-1.
3
15.解:(1)由题可知,tan( + π4 )=t1a-ntan+1=2, 解得 tan α=1.
3

(2)由 tan

α=13,α∈(0, π2 ),可得 sin

α=√10,cos
10

α=3√10,
10

所以 sin 2α=2sin αcos α=3,cos 2α=1-2sin2α=4,

5

5

所以 sin(2- π3 )=sin

2αcosπ-cos
3

2αsinπ=3×1-4×√3=3-4√3.
3 5 2 5 2 10

16.解:(1)∵α,β∈(0, π2 ),∴-π2 <α-β<π2 .

又 tan(α-β)=-1<0,∴-π<α-β<0,

3

2

∴sin(α-β)=-√10.
10

(2)由(1)可得,cos(α-β)=3√10.
10

∵α 为锐角,sin α=3,∴cos α=4,

5

5

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×3√1010+35×(- √1100)=9√5010. 17.B [解析] 因为 α 为锐角,β 为第二象限角,cos(α-β)>0,sin(α+β)>0,

所以 α-β 为第四象限角,α+β 为第二象限角,

因此 sin(α-β)=-√3,cos(α+β)=-√3,

2

2

所以 sin

2α=sin(α-β+α+β)=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=-√23×(- √23)+12×12=1 ,

因为 α 为锐角,所以 2α=π,所以 sin(3α-β)=sin(2α+α-β)=cos(α-β)=1,故选 B.

2

2

18. 3
22

[解析] 因为ccooss+-ssiinn=11+-ttaann=1-ttaannπ4π4+·tatnan=tan( +

π4 )=tan(α+β)-(- π4 )=1+ttaann((++))-·tatna(n(-π4-)π4 ),

将 tan(α+β)=25,tan(- π4 )=14代入可得ccooss+-ssiinn=1+25-2514×14=232.


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